如何计算德州扑克各牌型概率

1 问题定义

要研究一个问题，首先得给出这个问题的明确定义。本篇文章讨论的是对于个人来说单局游戏拿到各牌型的概率，这个问题可以简化为从牌组中随机抽取 7 张牌，抽出的牌不考虑顺序，求抽出的牌组成各牌型的概率。另外本文假定读者知晓德州扑克牌型的构造规则。

扑克牌有 4 种花色，13 种点数，共 52 张牌。设样本空间为 $Ω$ ，表示所有可能的抽取结果。令事件 $𝐴_{0}$ 表示抽出的牌型为皇家同花顺， $𝐴_{1}$ 表示同花顺， $𝐴_{2}$ 表示四条， $𝐴_{3}$ 表示葫芦， $𝐴_{4}$ 表示同花， $𝐴_{5}$ 表示顺子， $𝐴_{6}$ 表示三条， $𝐴_{7}$ 表示两对， $𝐴_{8}$ 表示对子， $𝐴_{9}$ 表示高牌。

从而可以通过计算各事件集合的大小来计算概率，比如拿到皇家同花顺的概率为 $\frac{| 𝐴_{0} |}{| Ω |}$ 。

2 计算

计算德州扑克各牌型概率最简单的方法其实是用计算机模拟，因为有一些牌型需要分很多种情况讨论，使用理论计算十分复杂，比如顺子，所以本文对于一些计算十分复杂的牌型会简述计算思路，然后直接给出结果。

2.1 样本空间 $Ω$

从 52 张牌中无序地选择 7 张。

| Ω | = (\binom{52}{7}) = 133784560

2.2 皇家同花顺 $𝐴_{0}$

组成皇家同花顺的 5 张牌有 4 种可能，分别为 4 种花色的 A K Q J 10，另外 2 张牌可从余下的 47 张牌中任意选择。

| 𝐴_{1} | = (\binom{4}{1}) (\binom{47}{2}) = 4324

2.3 同花顺 $𝐴_{1}$

如果抽出的 7 张牌可以组成同花顺，那么其中至少有 5 张牌的花色相同且点数相连，所以可以划分为以下 3 种情况：

恰有 5 张牌同花色且点数相连。
恰有 6 张牌同花色且点数相连。
恰有 7 张牌同花色且点数相连。

情况 1：这 5 张牌的花色有 4 种可能，组成顺子的点数序列有 10 种可能（从 A 2 3 4 5 到 10 J Q K A），还有 2 张牌要在余下的 47 张牌中选取。但是组成顺子的 10 种可能中，有 2 种会使 1 张牌不可选，另外 8 种会使 2 张牌不可选，比如 A 2 3 4 5 不能再选择相同花色的 6，因为会导致有 6 张牌同花且点数相连。所以组成顺子的 10 种可能中，有 2 种只能在 46 张牌中选择另外 2 张，有 8 种只能在 45 张牌中选择另外 2 张。

情况 2：同理可知，这 6 张牌的花色有 4 种可能，组成顺子的点数序列有 9 种可能，有 2 种只能在 45 张牌中选择另外 1 张，有 7 种只能在 44 张牌中选择另外 1 张。

情况 3：这 7 张牌的花色有 4 种可能，组成顺子的点数序列有 8 种可能。

在这 3 种情况中还包含了皇家同花顺的可能，所以

\begin{aligned} | 恰有 5 张牌同花且点数相连 | & = (\binom{4}{1}) [(\binom{2}{1}) (\binom{46}{2}) + (\binom{8}{1}) (\binom{45}{2})] \\ | 恰有 6 张牌同花且点数相连 | & = (\binom{4}{1}) [(\binom{2}{1}) (\binom{45}{1}) + (\binom{7}{1}) (\binom{44}{1})] \\ | 恰有 7 张牌同花且点数相连 | & = (\binom{4}{1}) (\binom{8}{1}) \\ | 𝐴_{1} | & = \sum_{𝑖 = 5}^{7} | 恰有 i 张牌同花且点数相连 | - | 𝐴_{0} | \\ = 37260 \end{aligned}

2.4 四条 $𝐴_{2}$

组成四条的 4 张牌有 13 种可能，另外 3 张牌可在余下的 48 张牌中任意选择。

| 𝐴_{2} | = (\binom{13}{1}) (\binom{48}{3}) = 224848

2.5 葫芦 $𝐴_{3}$

令事件 $𝐵_{𝑐_{1} 𝑐_{2} \dots 𝑐_{𝑛}}$ 表示抽出的 7 张牌中点数相同的个数分别为 $𝑐_{1}, 𝑐_{2}, \dots, 𝑐_{𝑛}$ ， $Σ_{1}^{𝑛} 𝑐_{𝑖} = 7$ ，比如 A A A 2 2 2 3 属于 $𝐵_{331}$ 。

葫芦牌型可分为 $𝐵_{331}$ 、 $𝐵_{322}$ 、 $𝐵_{3211}$ 这 3 种情况。

$𝐵_{331}$ ：个数为 3 的点数可从 13 种点数中选择 2 种，每种点数分别需要从 4 种花色中选择 3 种；因为已经选择了 2 种点数，个数为 1 的点数只能从余下的 11 种点数中选择，还需要从 4 种花色中选择 1 种。

$𝐵_{322}$ ：同理可知，个数为 3 的点数需要从 13 种点数中选择 1 种，从 4 种花色中选择 3 种；点数个数为 2 的数只能从余下的 12 种点数中选择 2 种，从 4 种花色中选择 2 种。

$𝐵_{3211}$ ：同理可知，点数个数为 3 的点数有 13 种可能，需要从 4 种花色中选择 3 种；点数个数为 2 的点数只有余下的 12 种可能，需要从 4 种花色中选择 2 种；点数个数为 1 的点数需要从余下的 11 种点数中选择 2 种，每种点数分别需要从 4 种花色中选择 1 种。

从而有

\begin{aligned} | 𝐵_{331} | & = (\binom{13}{2}) {(\binom{4}{3})}^{2} (\binom{11}{1}) (\binom{4}{1}) \\ | 𝐵_{322} | & = (\binom{13}{1}) (\binom{4}{3}) (\binom{12}{2}) {(\binom{4}{2})}^{2} \\ | 𝐵_{3211} | & = (\binom{13}{1}) (\binom{4}{3}) (\binom{12}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{11}{2}) {(\binom{4}{1})}^{2} \\ | 𝐴_{3} | & = | 𝐵_{331} | + | 𝐵_{322} | + | 𝐵_{3211} | \\ = 3473184 \end{aligned}

2.6 同花 $𝐴_{4}$

如果抽出的 7 张牌可以组成同花牌型，那么其中至少有 5 张花色相同，所以可以划分为以下 3 种情况：

恰有 5 张牌同花色。
恰有 6 张牌同花色。
恰有 7 张牌同花色。

情况 1：这 5 张牌的花色有 4 种可能，点数不可能重复，所以需要从 13 种点数中选取 5 种；另外 2 张牌可在余下的 3 种花色，共 39 张牌中任意选取。

情况 2：同理可知，这 6 张牌的花色有 4 种可能，点数需要从 13 种中选取 6 种；另外 1 张牌可在余下的 3 种花色，共 39 张牌中任意选取。

情况 3：同理可知，这 7 张牌的花色有 4 种可能，点数需要从 13 种中选取 7 种。

这 3 种情况还包含了同花顺和皇家同花顺的可能，所以

\begin{aligned} | 恰有 5 张牌同花色 | & = (\binom{4}{1}) (\binom{13}{5}) (\binom{39}{2}) \\ | 恰有 6 张牌同花色 | & = (\binom{4}{1}) (\binom{13}{6}) (\binom{39}{1}) \\ | 恰有 7 张牌同花色 | & = (\binom{4}{1}) (\binom{13}{7}) \\ | 𝐴_{4} | & = \sum_{𝑖 = 5}^{7} | 恰有 i 张牌同花 | - | 𝐴_{0} | - | 𝐴_{1} | \\ = 4047644 \end{aligned}

2.7 顺子 $𝐴_{5}$

令事件 $𝐶_{𝑖}$ 表示抽出的 7 张牌中最多有 i 张牌点数相连，比如 A 2 3 4 5 6 7 属于 $𝐶_{7}$ ，A 2 3 4 5 6 A 属于 $𝐶_{6}$ ，A 2 3 4 5 7 7 属于 $𝐶_{5}$ 。

顺子牌型要求抽出的 7 张牌中至少有 5 张牌点数相连，所以可以划分成 $𝐶_{5}, 𝐶_{6}, 𝐶_{7}$ 这 3 种情况，但在这些情况中还有出现至少 5 张牌花色相同的可能，所以

\begin{aligned} 𝐴_{5} = & 𝐶_{5} \cup 𝐶_{6} \cup 𝐶_{7} - (𝐶_{5} \cup 𝐶_{6} \cup 𝐶_{7}) \cap 至少有 5 张牌花色相同 \\ = & 𝐶_{5} \cup 𝐶_{6} \cup 𝐶_{7} - ⋃_{𝑖 = 5}^{7} （ 𝐶_{𝑖} \cap 至少有 5 张牌花色相同 ） \end{aligned}

由于 $𝐶_{5}, 𝐶_{6}, 𝐶_{7}$ 互斥，所以

| 𝐴_{5} | = | 𝐶_{5} | + | 𝐶_{6} | + | 𝐶_{7} | - \sum_{𝑖 = 5}^{7} | 𝐶_{𝑖} \cap 至少有 5 张牌花色相同 |

计算这些集合的大小需要分很多种情况讨论，所以这里不继续推导，直接给出结果：

| 𝐴_{5} | = 6180020

2.8 三条 $𝐴_{6}$

如果抽出的 7 张牌是三条，那么其必是 $𝐵_{31111}$ 牌型，但 $𝐵_{31111}$ 牌型不一定是三条，因为还可能有顺子或有同花，所以

\begin{aligned} 𝐴_{6} = & 𝐵_{31111} - 𝐵_{31111} \cap (有顺子 \cup 有同花) \\ = & 𝐵_{31111} - (𝐵_{31111} \cap 有顺子) \cup (𝐵_{31111} \cap 有同花) \end{aligned}

由容斥原理可知

\begin{aligned} | 𝐴_{6} | = & | 𝐵_{31111} | - | (𝐵_{31111} \cap 有顺子) \cup (𝐵_{31111} \cap 有同花) | \\ = & | 𝐵_{31111} | - | 𝐵_{31111} \cap 有顺子 | - | 𝐵_{31111} \cap 有同花 | + | 𝐵_{31111} \cap 有顺子 \cap 有同花 | \end{aligned}

对于 $𝐵_{31111}$ ，成三条的点数需要从 13 种点数中选择 1 种，还需要从 4 种花色中选择 3 种；点数个数为 1 的点数需要从余下的 12 种点数中选择 4 种，分别需要从 4 种花色中选择 1 种。

对于 $𝐵_{31111} \cap 有顺子$ ，5 个点数相连有 10 种可能，还需要从选出的 5 种点数中选择 1 种成三条；成三条的点数需要从 4 种花色中选择 3 种，另外 4 张牌分别需要从 4 种花色中选择 1 种。

对于 $𝐵_{31111} \cap 有同花$ ，成三条的点数需要从 13 种点数中选择 1 种，还需要从 4 种花色中选择 3 种；点数个数为 1 的点数需要从余下的 12 种点数中选择 4 种，花色只能从成三条的 3 种花色中选择同 1 种。

对于 $𝐵_{31111} \cap 有顺子 \cap 有同花$ ，5 个点数相连有 10 种可能，还需要从选出的 5 种点数中选择 1 种成三条；成三条的点数需要从 4 种花色中选择 3 种，另外 4 张牌只能从成三条的 3 种花色中选择同 1 种。

\begin{aligned} | 𝐵_{31111} | = & (\binom{13}{1}) (\binom{4}{3}) (\binom{12}{4}) {(\binom{4}{1})}^{4} \\ | 𝐵_{31111} \cap 有顺子 | = & (\binom{10}{1}) (\binom{5}{1}) (\binom{4}{3}) {(\binom{4}{1})}^{4} \\ | 𝐵_{31111} \cap 有同花 | = & (\binom{13}{1}) (\binom{4}{3}) (\binom{12}{4}) (\binom{3}{1}) \\ | 𝐵_{31111} \cap 有顺子 \cap 有同花 | = & (\binom{10}{1}) (\binom{5}{1}) (\binom{4}{3}) (\binom{3}{1}) \end{aligned}

所以

\begin{aligned} | 𝐴_{6} | = & 4^{5} \times [13 \times (\binom{12}{4}) - 10 \times 5] - 12 \times [13 \times (\binom{12}{4}) - 10 \times 5] \\ = & 6461620 \end{aligned}

2.9 两对 $𝐴_{7}$

与三条同理可知 $𝐴_{7} \subset 𝐵_{2221} \cup 𝐵_{22111}$ ，且 $𝐵_{2221}$ 分别与 $𝐵_{22111}$ 、同花和顺子互斥，所以有

\begin{aligned} 𝐴_{7} = & 𝐵_{2221} \cup 𝐵_{22111} - 𝐵_{22111} \cap (有同花 \cup 有顺子) \\ = & 𝐵_{2221} \cup 𝐵_{22111} - (𝐵_{22111} \cap 有同花 ） \cup (𝐵_{22111} \cap 有顺子 ） \end{aligned}

由容斥原理可知

\begin{aligned} | 𝐴_{7} | = & | 𝐵_{2221} | + | 𝐵_{22111} | - | (𝐵_{22111} \cap 有同花) \cup (𝐵_{22111} \cap 有顺子) | \\ = & | 𝐵_{2221} | + | 𝐵_{22111} | - | 𝐵_{22111} \cap 有同花 | - | 𝐵_{22111} \cap 有顺子 | \\ + | 𝐵_{22111} \cap 有同花 \cap 有顺子 | \end{aligned}

易得

\begin{aligned} | 𝐵_{2221} | = & (\binom{13}{3}) {(\binom{4}{2})}^{3} (\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) \\ | 𝐵_{22111} | = & (\binom{13}{2}) {(\binom{4}{2})}^{2} (\binom{11}{3}) {(\binom{4}{1})}^{3} \\ | 𝐵_{22111} \cap 有同花 | = & (\binom{13}{2}) (\binom{11}{3}) (\binom{4}{1}) {(\binom{3}{1})}^{2} \\ | 𝐵_{22111} \cap 有顺子 | = & (\binom{10}{1}) (\binom{5}{2}) {(\binom{4}{2})}^{2} {(\binom{4}{1})}^{3} \\ | 𝐵_{22111} \cap 有同花 \cap 有顺子 | = & (\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) (\binom{5}{2}) {(\binom{3}{1})}^{2} \end{aligned}

所以

\begin{aligned} | 𝐴_{7} | = & (\binom{13}{3}) \times 6^{3} \times 10 \times 4 + (\binom{13}{2}) (\binom{11}{3}) (6^{2} \times 4^{3} - 4 \times 3^{2}) \\ - 10^{2} \times (6^{2} \times 4^{3} - 4 \times 3^{2}) \\ = & 31433400 \end{aligned}

2.10 对子 $𝐴_{8}$

对子只可能出现在 $𝐵_{211111}$ 牌型中，但 $𝐵_{211111}$ 牌型中还可能有同花或顺子，所以

\begin{aligned} 𝐴_{8} = & 𝐵_{211111} - 𝐵_{211111} \cap (有同花 \cup 有顺子) \\ = & 𝐵_{211111} - (𝐵_{211111} \cap 有同花) \cup (𝐵_{211111} \cap 有顺子) \end{aligned}

由容斥原理可知

| 𝐴_{8} | = | 𝐵_{211111} | - | 𝐵_{211111} \cap 有同花 | - | 𝐵_{211111} \cap 有顺子 | + | 𝐵_{211111} \cap 有同花 \cap 有顺子 |

又因为 $有顺子 = 𝐶_{5} \cup 𝐶_{6} \cup 𝐶_{7}$ ，且 $𝐶_{5}, 𝐶_{6}, 𝐶_{7}$ 之间互斥， $𝐵_{211111}$ 与 $𝐶_{7}$ 互斥，所以

\begin{aligned} 𝐵_{211111} \cap 有顺子 = & 𝐵_{211111} \cap (𝐶_{5} \cup 𝐶_{6}) \\ = & (𝐵_{211111} \cap 𝐶_{5}) \cup (𝐵_{211111} \cap 𝐶_{6}) \end{aligned}

易知

| 𝐵_{211111} | = (\binom{13}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{12}{5}) {(\binom{4}{1})}^{5}

其它集合大小的计算都很麻烦，所以就不继续推导了，直接给出结果：

| 𝐴_{8} | = 58627800

2.11 高牌 $𝐴_{9}$

高牌只可能出现在 $𝐵_{1111111}$ 牌型中，但 $𝐵_{1111111}$ 牌型还可能有同花或顺子，

\begin{aligned} 𝐴_{9} = & 𝐵_{1111111} - 𝐵_{1111111} \cap (有同花 \cup 有顺子) \\ = & 𝐵_{1111111} - (𝐵_{1111111} \cap 有同花) \cup (𝐵_{1111111} \cap 有顺子) \end{aligned}

又因为 $有顺子 = 𝐶_{5} \cup 𝐶_{6} \cup 𝐶_{7}$ ，所以

\begin{aligned} 𝐴_{9} = & 𝐵_{1111111} - (𝐵_{1111111} \cap 有同花) \cup [𝐵_{1111111} \cap (𝐶_{5} \cup 𝐶_{6} \cup 𝐶_{7})] \\ = & 𝐵_{1111111} - (𝐵_{1111111} \cap 有同花) \cup (𝐵_{1111111} \cap 𝐶_{5}) \cup (𝐵_{1111111} \cap 𝐶_{6}) \cup (𝐵_{1111111} \cap 𝐶_{7}) \end{aligned}

易知

| 𝐵_{1111111} | = (\binom{13}{7}) {(\binom{4}{1})}^{7}

其它集合的大小需要分很多情况讨论，这里不再继续推导，直接给出结果：

| 𝐴_{9} | = 23294460

2.12 概率

\begin{aligned} 𝑃 (𝐴_{0}) = & \frac{| 𝐴_{0} |}{| Ω |} = \frac{4324}{133784560} \approx 0.00323 % \\ 𝑃 (𝐴_{1}) = & \frac{| 𝐴_{1} |}{| Ω |} = \frac{37260}{133784560} \approx 0.02785 % \\ 𝑃 (𝐴_{2}) = & \frac{| 𝐴_{2} |}{| Ω |} = \frac{224848}{133784560} \approx 0.16807 % \\ 𝑃 (𝐴_{3}) = & \frac{| 𝐴_{3} |}{| Ω |} = \frac{3473184}{133784560} \approx 2.59610 % \\ 𝑃 (𝐴_{4}) = & \frac{| 𝐴_{4} |}{| Ω |} = \frac{4047644}{133784560} \approx 3.02549 % \\ 𝑃 (𝐴_{5}) = & \frac{| 𝐴_{5} |}{| Ω |} = \frac{6180020}{133784560} \approx 4.61938 % \\ 𝑃 (𝐴_{6}) = & \frac{| 𝐴_{6} |}{| Ω |} = \frac{6461620}{133784560} \approx 4.82987 % \\ 𝑃 (𝐴_{7}) = & \frac{| 𝐴_{7} |}{| Ω |} = \frac{31433400}{133784560} \approx 23.49554 % \\ 𝑃 (𝐴_{8}) = & \frac{| 𝐴_{8} |}{| Ω |} = \frac{58627800}{133784560} \approx 43.82254 % \\ 𝑃 (𝐴_{9}) = & \frac{| 𝐴_{9} |}{| Ω |} = \frac{23294460}{133784560} \approx 17.41192 % \end{aligned}

3 总结

	比值	概率
皇家同花顺	1/30940	0.00323%
同花顺	81/290836	0.02785%
四条	1/595	0.16807%
葫芦	726/27965	2.59610%
同花	1011911/3344614	3.02549%
顺子	44143/955604	4.61938%
三条	14047/290836	4.82987%
两对	785835/3344614	23.49554%
对子	4455/10166	43.82254%
高牌	166389/955604	17.41192%

1 问题定义

2 计算

2.1 样本空间 Ω

2.2 皇家同花顺 𝐴0

2.3 同花顺 𝐴1

2.4 四条 𝐴2

2.5 葫芦 𝐴3

2.6 同花 𝐴4

2.7 顺子 𝐴5

2.8 三条 𝐴6

2.9 两对 𝐴7

2.10 对子 𝐴8

2.11 高牌 𝐴9

2.12 概率

3 总结

2.1 样本空间 $Ω$

2.2 皇家同花顺 $𝐴_{0}$

2.3 同花顺 $𝐴_{1}$

2.4 四条 $𝐴_{2}$

2.5 葫芦 $𝐴_{3}$

2.6 同花 $𝐴_{4}$

2.7 顺子 $𝐴_{5}$

2.8 三条 $𝐴_{6}$

2.9 两对 $𝐴_{7}$

2.10 对子 $𝐴_{8}$

2.11 高牌 $𝐴_{9}$