1 问题定义

要研究一个问题，首先得给出这个问题的明确定义。本篇文章讨论的是对于个人来说单局游戏拿到各牌型的概率，这个问题可以简化为从牌组中随机抽取 7 张牌，抽出的牌不考虑顺序，求抽出的牌组成各牌型的概率。另外本文假定读者知晓德州扑克牌型的构造规则。

扑克牌有 4 种花色，13 种点数，共 52 张牌。设样本空间为 ，表示所有可能的抽取结果。令事件 表示抽出的牌型为皇家同花顺， 表示同花顺， 表示四条， 表示葫芦， 表示同花， 表示顺子， 表示三条， 表示两对， 表示对子， 表示高牌。

从而可以通过计算各事件集合的大小来计算概率，比如拿到皇家同花顺的概率为 。

2 计算

计算德州扑克各牌型概率最简单的方法其实是用计算机模拟，因为有一些牌型的需要分很多种情况讨论，使用理论计算十分复杂，比如顺子，所以本文对于一些计算十分复杂的牌型会简述计算思路，然后直接给出结果。

2.1 样本空间

从 52 张牌中无序地选择 7 张。

2.2 皇家同花顺

组成皇家同花顺的 5 张牌有 4 种可能，分别为 4 种花色的 A K Q J 10，另外 2 张牌可从余下的 47 张牌中任意选择。

2.3 同花顺

如果抽出的 7 张牌可以组成同花顺，那么其中至少有 5 张牌的花色相同且点数相连，所以可以划分为以下 3 种情况：

  1. 恰有 5 张牌同花色且点数相连。
  2. 恰有 6 张牌同花色且点数相连。
  3. 恰有 7 张牌同花色且点数相连。

情况 1：这 5 张牌的花色有 4 种可能，组成顺子的点数序列有 10 种可能（从 A 2 3 4 5 到 10 J Q K A），还有 2 张牌要在余下的 47 张牌中选取。但是组成顺子的 10 种可能中，有 2 种会使 1 张牌不可选，另外 8 种会使 2 张牌不可选，比如 A 2 3 4 5 不能再选择相同花色的 6，因为会导致有 6 张牌同花且点数相连。所以组成顺子的 10 种可能中，有 2 种只能在 46 张牌中选择另外 2 张，有 8 种只能在 45 张牌中选择另外 2 张。

情况 2：同理可知，这 6 张牌的花色有 4 种可能，组成顺子的点数序列有 9 种可能，有 2 种只能在 45 张牌中选择另外 1 张，有 7 种只能在 44 张牌中选择另外 1 张。

情况 3：这 7 张牌的花色有 4 种可能，组成顺子的点数序列有 8 种可能。

在这 3 种情况中还包含了皇家同花顺的可能，所以

2.4 四条

组成四条的 4 张牌有 13 种可能，另外 3 张牌可在余下的 48 张牌中任意选择。

2.5 葫芦

令事件 表示抽出的 7 张牌中点数相同的个数分别为 ，，比如 A A A 2 2 2 3 属于 。

葫芦牌型可分为 、、 这 3 种情况。

：个数为 3 的点数可从 13 种点数中选择 2 种，每种点数分别需要从 4 种花色中选择 3 种；因为已经选择了 2 种点数，个数为 1 的点数只能从余下的 11 种点数中选择，还需要从 4 种花色中选择 1 种。

：同理可知，个数为 3 的点数需要从 13 种点数中选择 1 种，从 4 种花色中选择 3 种；点数个数为 2 的数只能从余下的 12 种点数中选择 2 种，从 4 种花色中选择 2 种。

：同理可知，点数个数为 3 的点数有 13 种可能，需要从 4 种花色中选择 3 种；点数个数为 2 的点数只有余下的 12 种可能，需要从 4 种花色中选择 2 种；点数个数为 1 的点数需要从余下的 11 种点数中选择 2 种，每种点数分别需要从 4 种花色中选择 1 种。

从而有

2.6 同花

如果抽出的 7 张牌可以组成同花牌型，那么其中至少有 5 张花色相同，所以可以划分为以下 3 种情况：

  1. 恰有 5 张牌同花色。
  2. 恰有 6 张牌同花色。
  3. 恰有 7 张牌同花色。

情况 1：这 5 张牌的花色有 4 种可能，点数不可能重复，所以需要从 13 种点数中选取 5 种；另外 2 张牌可在余下的 3 种花色，共 39 张牌中任意选取。

情况 2：同理可知，这 6 张牌的花色有 4 种可能，点数需要从 13 种中选取 6 种；另外 1 张牌可在余下的 3 种花色，共 39 张牌中任意选取。

情况 3：同理可知，这 7 张牌的花色有 4 种可能，点数需要从 13 种中选取 7 种。

这 3 种情况还包含了同花顺和皇家同花顺的可能，所以

2.7 顺子

令事件 表示抽出的 7 张牌中最多有 i 张牌点数相连，比如 A 2 3 4 5 6 7 属于 ，A 2 3 4 5 6 A 属于 ，A 2 3 4 5 7 7 属于 。

顺子牌型要求抽出的 7 张牌中至少有 5 张牌点数相连，所以可以划分成 这 3 种情况，但在这些情况中还有出现至少 5 张牌花色相同的可能，所以

由于 互斥，所以

计算这些集合的大小需要分很多种情况讨论，所以这里不继续推导，直接给出结果：

2.8 三条

如果抽出的 7 张牌是三条，那么其必是 牌型，但 牌型不一定是三条，因为还可能有顺子或有同花，所以

由容斥原理可知

对于 ，成三条的点数需要从 13 种点数中选择 1 种，还需要从 4 种花色中选择 3 种；点数个数为 1 的点数需要从余下的 12 种点数中选择 4 种，分别需要从 4 种花色中选择 1 种。

对于 ，5 个点数相连有 10 种可能，还需要从选出的 5 种点数中选择 1 种成三条；成三条的点数需要从 4 种花色中选择 3 种，另外 4 张牌分别需要从 4 种花色中选择 1 种。

对于 ，成三条的点数需要从 13 种点数中选择 1 种，还需要从 4 种花色中选择 3 种；点数个数为 1 的点数需要从余下的 12 种点数中选择 4 种，花色只能从成三条的 3 种花色中选择同 1 种。

对于 ，5 个点数相连有 10 种可能，还需要从选出的 5 种点数中选择 1 种成三条；成三条的点数需要从 4 种花色中选择 3 种，另外 4 张牌只能从成三条的 3 种花色中选择同 1 种。

所以

2.9 两对

与三条同理可知 ，且 分别与 、同花和顺子互斥，所以有

由容斥原理可知

易得

所以

2.10 对子

对子只可能出现在 牌型中，但 牌型中还可能有同花或顺子，所以

由容斥原理可知

又因为 ，且 之间互斥， 与 互斥，所以

易知

其它集合大小的计算都很麻烦，所以就不继续推导了，直接给出结果：

2.11 高牌

高牌只可能出现在 牌型中，但 牌型还可能有同花或顺子，

又因为 ，所以

易知

其它集合的大小需要分很多情况讨论，这里不再继续推导，直接给出结果：

2.12 概率

3 总结

比值 概率
皇家同花顺 1/30940 0.00323%
同花顺 81/290836 0.02785%
四条 1/595 0.16807%
葫芦 726/27965 2.59610%
同花 1011911/3344614 3.02549%
顺子 44143/955604 4.61938%
三条 14047/290836 4.82987%
两对 785835/3344614 23.49554%
对子 4455/10166 43.82254%
高牌 166389/955604 17.41192%